Question

[Cathy Trang]

Cho a,b,c là độ dài của 3 cạnh tam giác:

Chứng minh rằng:

\(\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}{a}+\frac{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)-b^2}}{b}+\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}}{c}\ge3\sqrt{3}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải khác:

Theo BĐT AM-GM:

\(\text{VT}=\sum \frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{a}\geq \sum \frac{\sqrt{(b+c)^2-a^2}}{a}=\sum \frac{\sqrt{a+b+c}.\sqrt{b+c-a}}{a}\)

\(=\sum \frac{\sqrt{a+b+c}.(b+c-a)}{\sqrt{a^2(b+c-a)}}\)

Theo BĐT AM-GM:

$a^2(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$

\(\Rightarrow \text{VT}\geq 3\sqrt{3}\sum \frac{\sqrt{a+b+c}(b+c-a)}{\sqrt{(a+b+c)^3}}=3\sqrt{3}.\sum \frac{b+c-a}{a+b+c}=3\sqrt{3}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Chuẩn hóa \(a+b+c=3\)

Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta cũng suy ra \(0< a;b;c< \frac{3}{2}\)

Đặt vế trái là P, ta có:

\(P=\sum\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}{a}\ge\sum\frac{\sqrt{\left(b+c\right)^2-a^2}}{a}=\sum\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)}}{a}=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3-2a}}{a}+\frac{\sqrt{3-2b}}{b}+\frac{\sqrt{3-2c}}{c}\right)\)

Ta có đánh giá: \(\frac{\sqrt{3-2a}}{a}\ge3-2a\) với mọi \(a\in\left(0;\frac{3}{2}\right)\)

Thật vậy, BĐT \(\Leftrightarrow a\sqrt{3-2a}\le1\)

\(\Leftrightarrow1-a^2\left(3-2a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(2a+1\right)\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự \(\frac{\sqrt{3-2b}}{b}\ge3-2b\) ; \(\frac{\sqrt{3-2c}}{c}\ge3-2c\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\left[9-2\left(a+b+c\right)\right]=3\sqrt{3}\) (đpcm)